满威宁（加州州立大学旧金山分校物理与天文系教授） 

　　今年的诺贝尔物理学奖被授予美国华盛顿大学的索利斯（David J. Thouless）、普林斯顿大学的霍尔丹（F.Duncan M. Haldane）和布朗大学的科斯特利兹（J.Michael Kosterlitz），以表彰他们的“理论研究发现了物质的拓扑相变和拓扑相。”诺贝尔奖官网说：“他们打开了通往奇异状态物质这一未知世界的大门。他们用高等数学方法研究不寻常的相、态、物质，比如超导体、超流体或薄磁膜。得益于他们的先驱性工作，对新型反常相物质的猎寻（hunt）开展起来了。很多人认为它们未来有望在材料科学和电子学上得以应用。” 

　　众所周知，纯水可以有冰、水、水蒸气三种状态，也就是固体液体气体三种相。融化沸腾结霜等都是相变。值得注意的是，相变意味着存在不连续的跃变。比如说固相和液相之间并没有中间状态。你可以把冰和水混合在一起，但在冰水混合物（包括碎冰沙饮品）里，固相液相仍是分离的（phase separation），不像酒精和水溶液成为融合的单相。小朋友可能会好奇那软白甜的冰激凌，难道不是水在固液两相之间的中间相？注意，冰激凌不是水，是混合了蛋白质、脂肪、冰晶、糖、液态水以及气泡的典型软凝聚态——凝聚态物理的另一个重要分支。
　　在不同的相里，分子原子整体遵循不同的规律做运动。比如，在固态晶体里，分子排成一个固定的点阵，像是操练立体方阵的士兵。在液态下，晶格瓦解，分子们却还紧挨着，所以保持有限的体积，但有了流动性，失去了固定的形状。等到了气态，分子们各奔东西，不仅没了固定形状，体积也会充满所在容器的整个空间。除了固液气相，物质还可能有很多其他复杂的相，呈现出不寻常的特征，比如超导和超流，后面会解释。 

　　总而言之，不同的相是指同一个物质内的原子们，有不同的组织结构，对应于不同的物态。相与相之间的变化，是跃变的（存在不连续的物理量），而不是渐变的 （比如将一块铁的温度慢慢升高）。 

　　拓扑是topology 音译的词汇。拓扑学是数学的一个分支，主要研究在空间连续变化（比如拉伸和弯曲，但是不撕裂和粘合）的情况下维持不变的性质。  

　　最著名的例子就是，一团橡皮泥可以捏成一个球或者一个碗，或者捏成诺奖发布会上，主持人手里的实心肉桂面包（不管怎样做连续变化，这些形状都是一回事：它们都没有洞）。而被打穿了一个洞的橡皮泥，或者有一个把手的茶杯，以及主持人手里的圆圈面包，或者一个筒裙，在拓扑学上他们都是一回事，拥有同样的不变性：一个洞。而穿了两个洞的橡皮泥，就像那个八字形的碱水面包，还有你的长裤和短裤，都具有相同的拓扑不变性。除了洞的个数，还有别的特征数用来描述不同的拓扑特性。  

　　请注意，拓扑性也是跃变的，不是渐变的。有个笑话说，当禅师说任何事物都有两面，你可以把一张纸条拧一下然后两头反过来粘住，形成一个莫比乌斯环。在上面爬的蚂蚁会发现它只有一面。可是如果禅师说事物都有整数面，那他就对了。同样，拓扑描述里，可以有零个、一个、两个或N个洞，但是不会有中间态1.5个或1.618个洞。掌纹指纹的奇异点（构成“箩斗”或“簸箕”）、打结的耳机线、椰子绒毛的漩（和你头发的漩）无不要遵守拓扑学的描述。而且拓扑性必须看物质的整体而不是局部才能知晓。  

　　拓扑的本质是在连续变化下的不变性。如果一根绳子上打了一个结，然后把这根绳子首尾相连，要去除这个绳结就只能把绳子割断，拓扑性质也是如此的坚固。比如说，当空间发生连续变化（伸缩扭曲等），左图的二维的波浪式运动可以被消除，而右图转圈的漩涡只能被扭曲或移动，因为拓扑结构获得保护，漩涡不能被轻易地消除。后面会提到漩涡在二维拓扑相变里面的重要作用。  

　　为了帮助理解后面的话题，我们先看看什么是电导率。想象一下你在一个管子（比如注射器）的一端施加压力，两端出现压强差，管内的液体会朝低压的方向流去，而流速流量不仅由压强差、管道长度、管道粗细决定，还会与液体的粘滞阻力有关，就像水和蜂蜜的区别。同样的，决定电流大小的，除了导线两端的电压差，材料的长短粗细，还有材料本身的导电性能（电导率）。比如金或者铜的电导率优于铝。我们平时说的电阻率，是电导率的倒数。一般情况下，电阻来源于电荷在移动过程中遭遇的阻碍（与其余微观粒子的频繁碰撞），类似于粘滞阻力和摩擦力。于是很大一部分电能就被消耗成了热能，所以你的手机会发热而且没用一天就要充电了。在三维导体和半导体中，电导率（电阻率）会随温度等状态发生变化，一般这样的变化是连续的，不是跃变的。

　　在特殊情况下，比如非常低温的条件下，物质可能发生特殊的相变，突然完全丧失电阻（或者粘滞系数），变成超导体（或者超流体），于是电流不再产生热量消耗电能，（或超流液体在环形容器中无休止地流动下去）。 

　　现在，我们再来试图理解拓扑相变。

　　在低温下，微观粒子体现出量子力学的效应。而在薄层物质里，想象一下那些“运载”电流的电荷（或流体的分子），像蚂蚁一样被限制在桌面薄薄一层空间，只能做二维运动。那么他们中的一些有可能转着圈形成漩涡。 

　　如果本节后面的文字读起来费劲，读完这一段你就可以跳到下一节。简短地说，今年的物理诺奖奖励了下列几个工作：(1) David J. Thouless和J. Michael Kosterlitz用漩涡（拓扑概念）解释了薄层物质的一种特殊形式的超导超流相变。(2) David J. Thouless等人用陈数（陈省身数，Chern numbers）等拓扑不变量解释了实验观测到的按整数倍变化的霍尔电导率。(3) F. Duncan M. Haldane提供了一维磁性原子链的拓扑模型。(4) F.Duncan M. Haldane还首次预言了不需要磁场的整数量子霍尔效应（最后这一条是不是获奖工作还有些争议）。总的来说，他们的理论开创了把拓扑概念应用到凝聚态物理研究的领域，打开了通往丰富的拓扑物态世界的大门。  

　　从前的理论认为超导或者超流不可能在薄层中发生。而上世纪七八十年代，David J. Thouless和J. Michael Kosterlitz 提出拓扑量子流体的理论，描述了在极低温下薄层物质中的漩涡会顺时针逆时针成对出现，互相补给电荷（或者补给流体），作为整体形成准长程有序的束缚态，伴随超导或超流现象。在温度升高后，这些成对的漩涡突然远离，开始自由运动，破坏了超导或超流的长程位相有序性，导致物理性质突变。这个过程不同于普通的伴随对称性破缺（局部热扰动破坏的各方向对称性）的相变（比如结冰），而是由漩涡束缚态与自由态之间的转变导致的，要用到拓扑的不连续性来描述和解释，是拓扑相变的一种。已故前苏联科学家Berezinskii也独立地提出了这一相变机理，但由于东西方冷战而不为许多人知晓， 这一相变也被称为是BKT相变。

　　另外一个启发了科学家们去把拓扑性应用到物理里的一个重要现象，是在极低温强磁场下薄层物质的霍尔电导率成台阶式整数倍变化，而不能连续变化，即整数量子霍尔效应。（1980年德国科学家冯·克利青 Klaus von Klitzing 发现整数量子霍尔效应，于1985年获得诺贝尔物理学奖。）实验所测得的霍尔电导率非常精确地严格等于一个物理常数的整数倍。这个物理常数是大家熟悉的基本电荷（一个电子的电量）的平方除以量子力学里的极小量普朗克常数。（霍尔电导率不同于普通的电导率，但也同样是电流密度与电压梯度的比值。） 

　　为什么霍尔电导率会如此固执地取这一系列整数倍数值呢？David J. Thouless等人把整数量子霍尔效应与陈数的整数拓扑不变量联系在了一起，用拓扑理论深刻解释了二维电子层中的整数量子霍尔效应。陈数是以华人数学家陈省身命名的。在数学上，陈省身提出的陈类（Chern Class）及相关理论在微分几何和代数拓扑学里面有举足轻重的位置。 

　　另外，1982年，美籍华裔物理学家崔琦（Daniel Chee Tsui）、美国物理学家施特默（Horst L. Stormer）等发现“分数量子霍尔效应”，不久由美国物理学家劳弗林（RoberB. Laughlin）给出理论解释，三人共同获得1998年诺贝尔物理学奖。 

　　而今年的另一位得奖者，F. Duncan M. Haldane的理论计算在八十年代末第一个提出了与已知机理不同的，不需要外加磁场的量子霍尔效应。这一预言终于在2014年，被以薛其坤为首的清华大学和中科院物理所的研究团队，用前所未有的磁性掺杂拓扑绝缘体在实验上验证。他的理论为现在非常活跃的拓扑绝缘体领域提供了前期基础。他还用拓扑的概念研究一维的原子链，在八十年代年打破前人对一维原子链的认知，指出一串磁性原子的自旋常数决定了他们是否存在拓扑性。他近期的工作进一步升华了分数量子霍尔效应的理论。 

　　这些研究的意义是什么，他们有什么用，这是大家很关心的问题。 

　　我首先要强调的是，把非常抽象的拓扑学应用到凝聚态物理研究中，形成全套崭新的理论，用以成功解释物质的奇异性质和相变，并预言前所未有的拓扑相和新物态，就像拿三角函数来描述带有方向的物理量（力和速度等矢量），拿微积分来描述渐进的物理过程，拿黎曼几何来描述引力的本质是时空的扭曲从而创立的广义相对论一样，这些“异想天开”的开创性理论研究打开了一扇扇新学科的大门，是具有划时代意义的。 

　　拓扑激发态两个重要特点，一是全局性，二是对局部扰动的稳定性，不受材料里面杂质等干扰。到今天对拓扑物态的研究成为一个内容丰富又飞速发展的领域， 更多的奇异拓扑相（包括一维、二维、三维）和拓扑相变被预言和发现。 

　　比如1990年左右，华裔物理学家牛谦、文小刚等人的工作使我们理解了量子霍尔效应边界的奇特拓扑性质。近十年来，包括傅亮、张首晟在内的科学家发现和预言了多种三维拓扑绝缘体。近八年来，顾正澄、文小刚，还有陈谐、刘正鑫揭示了Haldane磁性链的对称保护的拓扑内涵。这些工作使拓扑物态吸引了更多的关注。 

　　特别是量子霍尔态，其中和陈数相关的拓扑性质，导致了它的边界是电阻为零的理想导体。电子在一个边界上都有相同的运动方向，好似行驶在畅通无阻的高速公路，不再遭遇普通导体内类似于跑车冲进歌舞厅菜市场的电阻。这样特别的的材料有望被用来解决电子产品发热电能浪费的问题。 

　　还有一种新型拓扑物态——带非阿贝尔任意子的拓扑序，可能可以被用以实现量子计算机。总而言之，拓扑序拓扑物态在过去二十多年来主导了凝聚态物理的前沿研究，这些新型的拓扑材料和奇异性能，可能对下一代电子元件和量子计算机的发展有重要的潜在应用。 

　　作为专业的物理科研人员，在这里我谨慎保守地措辞“可能”和“潜在应用”，因为这样划时代发现全新物态和物理机制的开拓性研究本身已经意义非常重大，无需再吹嘘应用前景。类似地，一百年前爱因斯坦提出激光概念，五六十年前激光得以实现。那时候的人们完全想象不到激光的“潜在应用”有多么广泛。在今天几乎任何角落，从引力波探测、芯片制造，到普通电脑光盘、互联网光纤，到哪怕超市里的扫条码，都离不开激光——这种“一反常态”的具有单色、单向性、大功率、相干性等等的全新光源。 

　　三位获奖者是全新拓扑物态研究领域的理论先驱，在他们之前和之后的众多的数学家、理论物理学家和实验物理学家，都为这一领域的发展做出了卓越的贡献。是他们对未知世界无法阻挡的好奇心、孜孜不倦的探索和极其敏锐的洞察力让这一切成为可能。